La geometria, quando è certa, non dice nulla del mondo reale,
e quando dice qualcosa a proposito della nostra esperienza, è incerta.
(Albert Einstein, Conferenza all’Accademia prussiana delle scienze, 1921)
Il presente “racconto” vuole offrire un quadro rigoroso, ma nel contempo semplice della storia delle geometrie non Euclidee.
Compito sicuramente non facile, poiché la continua specializzazione nei vari campi della matematica ha prodotto veri e propri “dialetti” interni alla matematica stessa.
La geometria è quella parte della matematica che studia le figure, lo spazio che le contengono, le loro proprietà e si basa su proposizioni definite Postulati (Principi validi a priori o per evidenza o per convenzione).
In particolare, le geometrie non Euclidee riguardano quelle geometrie basate sulla negazione del V Postulato di Euclide che afferma:
“Dati una qualsiasi retta r ed un punto P non appartenente ad essa, è possibile tracciare per P una ed una sola retta parallela alla retta data”.
Euclide visse intorno al IV – III secolo a.C. ed è ricordato soprattutto per la sua opera “Elementi”, suddivisa in 13 libri.
Solo dopo circa 2000 anni, a partire dal XVIII secolo, sono nati “Movimenti” che fecero tremare, fin dalle fondamenta, la credenza che Euclide avesse espresso delle verità eterne. In particolare, il V Postulato, fu un dogma violato che cambiò il mondo.
Il tutto nasce dall’osservazione che la realtà non è perfettamente geometrica.
Ad esempio, supponiamo di voler andare da casa a scuola (dal punto A al punto B, come in figura) e immaginiamo la nostra città come un reticolato di abitazioni.
Per il Teorema di Pitagora, AB si ottiene dalla radice quadrata della somma dei cateti al quadrato, ossia:
Ma, nella realtà, non possiamo passare da A a B in linea retta, perché saremmo
obbligati a demolire gran parte degli edifici.
La distanza sarà, come minimo, la somma dei cateti:
AC + CB = 2 + 4 = 6
Questa distanza è nota come “Taxi Distanza”.
In un piano cartesiano, dati 2 punti 
, la distanza minima che
misura lo spostamento reale in una città a forma di reticolato è definita come:
Nella geometria Euclidea, la circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro.
Ad esempio: se A (2, -1) è il centro della circonferenza ed r (raggio) = 3, il luogo geometrico è rappresentato nella seguente figura:
Secondo la “Taxi Distanza”, invece, la circonferenza appare come nella figura seguente:
Come si può osservare, tutti i punti P di tale circonferenza sono tali che
Di esempi ve ne sarebbero molteplici, ma l’idea che ne deriva è che la forma delle figure geometriche non è una verità universale, eterna e immutabile, ma è relativa: dipende dalla metrica che viene usata.
La “Taxi Distanza” non è puramente teorica, come sembrerebbe, ma ha molte applicazioni nell’urbanistica.
Ad esempio: siano A e B due città. Le rispettive Giunte Comunali propongono la costruzione di una strada pubblica che sia equidistante dalle due città. Secondo la geometria Euclidea la risposta è relativamente semplice, ossia la strada sarebbe “l’asse” del segmento (retta passante per il punto medio M e ad esso perpendicolare), come in figura
È possibile notare che per ogni punto P appartenente all’asse: PA = PB.
Ma se così fosse, anche in questo caso, al passaggio della strada idealmente rettilinea, ne deriverebbe la necessità di demolire una grande quantità di edifici.
La soluzione più idonea è l’utilizzo della “Taxi Distanza”, secondo la quale l’asse è così rappresentato:
Per ogni punto P appartenente alla “retta”:
In questo modo, il “sacrificio” del nucleo urbano si ridurrebbe al minimo indispensabile.
Questa geometria presuppone un cambiamento sostanziale del modo più comune di concepire la realtà.
L’interrogativo che si posero gli studiosi nella prima metà dell’ 800 fu il seguente:
“Ma Euclide è stato all’infinito per vedere cosa facciano lì le rette parallele? Chi ci garantisce che, all’infinito, la retta r e quella passante per P non possano incontrarsi all’infinito? E se si uniscono? Lo Spazio potrebbe avere una curvatura?”
Da questi interrogativi si costruirono le basi per una nuova rappresentazione mentale degli oggetti geometrici.
Lobacevskij e la Geometria Iperbolica
La prima delle geometrie non Euclidee è la Geometria Iperbolica di Lobacevskij, un matematico russo e un esempio di vita austera completamente dedicata alla matematica.
In seguito a queste nuove teorie, il V postulato di Euclide venne riformulato nel modo seguente, che sostituisce il precedente:
“Per un punto P esterno ad una retta passa più di una retta parallela alla retta data”.
Per comprendere meglio questo Postulato, l’esempio classico è quello di un ragazzino che tira il suo zainetto. Si osserva che, mentre il ragazzino cammina in linea retta, lo zainetto descrive una curva che si avvicina a lui “asintoticamente” (senza mai toccarla), come visualizzato in figura:
Immaginando di ruotare questa curva attorno ad AP, si ottiene la superficie denominata Pseudosfera.
Questa superficie è il modello della geometria iperbolica e le figure disegnate sopra una pseudosfera (per esempio, parallele e triangoli) si comporteranno geometricamente in un modo non euclideo.
Come si può notare dalla figura precedente, data una retta l ed un punto P esterno ad essa si possono tracciare infinite rette parallele ad l e la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di 180°.
Le rette su questa superficie sono le linee più brevi tra i punti di essa dette Geodetiche
Per rendere meglio l’idea di come sarebbe un mondo “Iperbolico”, è possibile realizzare un piccolo esperimento. Si collochi un oggetto su di un materasso in modo che esso si affossi leggermente (figura successiva).
Si osserva come intorno all’oggetto, la superficie da piana diventa curva: il lenzuolo del letto riproduce una superficie Iperbolica.
Riemann e la Geometria Ellittica
Intorno alla metà dell’800, Bernhard Riemann sviluppò un’altra geometria non Euclidea: la geometria Ellittica.
Il matematico e fisico tedesco immagina le rette su superfici simili a palloni di rugby (Ellissoide).
Per semplicità, consideriamo una superficie sferica, che è un caso particolare di ellissoide e facciamo alcune semplici premesse:
una sfera si ottiene dalla rotazione di una circonferenza intorno al proprio diametro. Un piano che non taglia la sfera è definito Esterno. Un piano che lo taglia in un punto è detto Tangente alla sfera e, al contrario, un piano che taglia la sfera in circonferenze si chiama Secante.
Se un piano secante passa per il centro della sfera, tagliandola, si otterrà una circonferenza, denominata circonferenza massima
Le circonferenze massime, che passano per il diametro AOB sono denominate Meridiani e i punti A e B si dicono Poli. Per ogni coppia di punti A e B, esiste un’unica circonferenza massima perpendicolare al diametro AOB, detto Equatore dei poli A e B.
Quindi, i meridiani sono “rette” perpendicolari all’equatore.
Da queste premesse segue la negazione del V postulato di Euclide, il quale sarà sostituito dal seguente postulato:
“Per un punto esterno ad una data retta non passa alcuna retta parallela alla retta data”.
Anche in questo caso è possibile fare un piccolo esperimento.
Su un palloncino sgonfio e totalmente piano, si disegna un segmento del quale si misuri la sua lunghezza e, a lato, si disegna un triangolo. Quando si gonfia il palloncino, è possibile notare che i disegni praticati precedentemente si deformano.
Nella geometria di Riemann non ci sono rette parallele e la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di 180°.
Secondo Einstein, la geometria di Riemann fornisce una rappresentazione più esatta dell’universo.
L’Universo è curvo, i raggi luminosi deviano nello spazio formando delle curve e la curvatura dello spazio – tempo è determinata dalla gravità.
La geometria di Riemann “piega” il mondo Euclideo.
La Teoria della Relatività Generale di Einstein (1916) conclude che le tre geometrie (Euclidea, Iperbolica ed Ellittica) possono essere ugualmente valide. Per distanze relativamente piccole, tutte le geometrie sono equivalenti.
Diversamente, nello spazio Astronomico le geometrie non Euclidee danno una descrizione più precisa dei fenomeni.
Nella figura successiva sono sintetizzate le tre geometrie:
Santalò e la Geometria Integrale
Alla fine del XX secolo nasce un sistema geometrico moderno, detto Geometria Integrale, concepito dal matematico spagnolo Luis Santalò.
Anche in questo caso è possibile fare riferimento ad un esperimento che la caratterizza, noto come “l’ago di Buffon”. L’esperimento consiste nel lanciare varie volte un ago di lunghezza l su un foglio di carta nel quale sono state tracciate delle rette parallele con una separazione omogenea tra loro di d unità.
L’ago potrebbe tagliare qualcuna delle rette o nessuna di esse.
Lanciando ripetutamente l’ago sul piano e indicando con P la probabilità che qualche retta venga tagliata dall’ago, si ottiene che:
Buffon dimostra che
La probabilità, essendo una buona approssimazione della frequenza con la quale un evento si produce, diventa sempre più precisa all’aumentare del numero dei lanci.
Lanciando l’ago 34080 volte, si ottenne π = 3,1415929.
Il problema di Buffon suggerisce la possibilità di stabilire la misura di oggetti geometrici (lunghezze, aree, …..) e offre l’idea di formalizzare concetti come la misura di insiemi di rette, piani, etc.
Nella prima metà del XX secolo, la geometria integrale ha trovato la sua strada, un nuovo indirizzo integrandosi con la scienza computazionale ed ha avuto molte applicazioni in Biologia e in Medicina.
La Geometria Computazionale
Gli strumenti Euclidei classici sono la riga e il compasso, elementi molto utili per costruzioni semplici, ma nell’attualità è possibile realizzare costruzioni più sofisticate.
Oggi, grazie alla Geometria Computazionale, è possibile realizzare simulazioni per dimostrare evidenze che manualmente sarebbero impossibili da realizzare.
Questa geometria combina l’uso di diversi strumenti matematici per risolvere situazioni che sono diventate di fondamentale importanza nel mondo moderno.
Dalla geometria integrale derivano scoperte come la TAC (Tomografia Assiale Computerizzata), ad opera di Godfrey Hounsfield, un ingegnere britannico che, per i suoi studi sullo sviluppo della TAC, ha ricevuto il premio Nobel per la Medicina nel 1979.
Le immagini dettagliate delle strutture interne del corpo umano, come la sezione della testa rappresentata nella figura seguente, sarebbero impossibili senza l’applicazione dei risultati della geometria computazionale.
Un’altra applicazione della geometria integrale, in ambito medico, è data anche dalla Risonanza Magnetica (RM), una tecnica di indagine diagnostica nella quale i suoi elementi si devono integrare con grande precisione per dare informazioni dettagliate sulla distribuzione degli atomi nel corpo umano.
La risonanza magnetica permette di visualizzare sezioni di parti concrete dell’organismo (nella figura, un’immagine di una specifica sezione del cervello umano)
L’elaborazione di modelli di geometrie non euclidee ebbe grandi ripercussioni non soltanto in campo scientifico, ma anche in quello filosofico.
Sicuramente venne meno la convinzione che i fondamenti delle teorie matematiche fossero intuitivamente evidenti. Gli enti geometrici non sono più considerati come ispirati da realtà empiriche, ma come entità astratte caratterizzate da proprietà che sono di volta in volta postulate per essi e che si possono definire in maniera indipendente dall’intuizione comune.
Attraverso questo mio piccolo contributo, spero di aver raggiunto l’obiettivo di fornire una visione della geometria, non solo come insieme di tecniche, ma come un sapere sempre ricco di fascino che continua a generare nuove sfide intellettuali per l’umanità.